Coupling a vascular graph model and the surrounding tissue to simulate flow processes in vascular networks

Mathematical models of fluid exchange in the microcirculation can help to understand complex processes and may guide treatment of diseases in the future. To this end, a model with reduced computational demand is investigated making it possible to model large networks of vessels in interaction with the surrounding tissue. We derive a reduced model from a spatially resolved model and assess the error made with the model reduction. A two step reduction results in a first model with reduced vessel wall and finally in a second model with reduced vessel that couples a one-dimensional vessel graph with a three-dimensional tissue domain through line sources. Firstly, we construct a Darcy-Stokes coupled problem where the Darcy domain is separated from the Stokes domain by a thin membrane. For this problem a new set of interface conditions is derived. A locally conservative discontinuous Galerkin method is proposed to solve problems of this kind. Furthermore, it is shown that iterative Robin-Robin domain decomposition can be a more efficient alternative to direct solvers for Darcy-Stokes multi-compartment models. Secondly, it is shown that the reduced model is very accurate and efficient for geometrically symmetric problems in a wide range of physically relevant model parameters. Furthermore, it is shown that the error made by missing asymmetry features is smaller than that of model parameter uncertainty. The reduced model is also solved numerically for cases where the vascular graph can be chosen independently of the tissue grid. Deutsche Zusammenfassung Mathematische Modelle des Fluidaustausches in der Mikrozirkulation können zum Verständnis komplexer Vorgänge beitragen und in Zukunft die Krankheitstherapie begleiten. Reduzierte Modelle sind in der Lage große Netzwerke von Blutgefäßen, und die Interaktion mit dem umgebenden Gewebe, effizient zu berechnen. In dieser Arbeit wird in zwei Schritten ein voll aufgelöstes homogenisiertes Modell reduziert und die Fehler, die durch die Reduktion eingebracht werden beschrieben. Im ersten Schritt wird ein Modell mit reduzierter Gefäßwand entwickelt und neue Interfacebedingungen vorgeschlagen. Im zweiten Schritt wird ein Modell hergeleitet, bei dem ein eindimensionales Blutgefäßnetzerk mit einer dreidimensionalen Gewebeumgebung durch Linienquellen gekoppelt wird. Die Arbeit analysiert zunächst ein Darcy-Stokes Problem bei dem die beiden Gebiete durch eine dünne Membran getrennt sind. Ergebnis ist eine massenkonservative DiscontinuousGalerkin-Diskretisierung zur Lösung von Darcy-Stokes Problemen mit Drucksprung am Interface. Darüber hinaus zeigen die Ergebnisse das eine iterative Robin-Robin Gebietszerlegung bei solchen Mehrgebiets-Kopplungsproblem eine effiziente Alternative zu direkten Lösern ist. Das zweite reduzierte Modell zeigt sich akkurat und effizient in einem großen medizinisch relevanten Parameterbereich. Die Fehler durch Parameterunsicherheit übertreffen die Fehler durch die fehlende Abbildung von Asymmetrie im reduzierten Modell.